Facharbeit zum Thema Gammafunktion - Untersuchung und Anwendungen Leistungskurs Mathematik 2007/09 Emmy-Noether-Gymnasium Erlangen von Michael Müller Anmerkungen: 1) Die Arbeit wurde mit 12,5 Punkten (Note 2+) benotet. 2) Benutzte Programme: Texteditor: VIM, Tex: Tex Live, Graphen: gnuplot ### Latex-code ### \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage{ucs} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{ngerman} \usepackage{graphicx} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fancyhdr} \author{Michael Müller} \title{Die Gammafunktion - Untersuchung und Anwendung} \renewcommand*\thepage{-\arabic{page}-} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \lhead{} \chead{\thepage} \rhead{} \cfoot{} \renewcommand{\baselinestretch}{1.4} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper, top=30mm, left=40mm, right=20mm, bottom=30mm, headsep=10mm} \begin{document} \maketitle \thispagestyle{empty} \newpage \tableofcontents \thispagestyle{empty} \newpage \section{Vorwort} Jeder Schüler des bayerischen Gymnasiums begegnet während des Mathematikunterrichts spätestens in der Kombinatorik der Fakultätsfunktion. Sie wird verwendet, um die Anzahl der Permutationen einer bestimmten Anzahl von Elementen ohne Wiederholungen zu berechnen. Die Fakultätsfunktion ist eine von sehr wenigen Funktionen des Mathematikunterrichts, die einen stark begrenzten Definitionsbereich aufweisen. Angesichts der Tatsache, dass sie nur für die natürlichen Zahlen und für Null definiert ist, kommt unweigerlich die Frage auf: Gibt es eine Funktion, die die Berechnung auch für alle Reellen Zahlen erlaubt? Diese Funktion ist die Gammafunktion. Angefangen mit Leonhard Euler, der 1729 die Gammafunktion entdeckte und durch ein Integral ausdrückte, beschäftigten sich die herausragendsten Mathematiker mit der Theorie der Gammafunktion, viele von ihnen trugen einen Teil zur Weiterentwicklung bei. Die Bezeichnung $\varGamma(x)$ und der daraus folgende Name \textit{Gammafunktion} wurde erst 1809 von dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre ($\ast$1752; $\dagger$ 1833) eingeführt. Nach Meinung des dänischen Mathematikers Niels Nielsen ($\ast$1865; $\dagger$ 1931) ist die Rolle der Gammafunktion in der Analysis keine geringe: \begin{quote} Die Gammafunktion hat für die Entwicklung der modernen Analysis eine wichtige Rolle gespielt; denn obgleich diese Funktion als eine der einfachsten Transzendenten überhaupt bezeichnet werden muß, so ist sie doch so viel komplizierter als die Elementartranszendente $e^x$, daß sie Eigenschaften besitzt, welche dieser Funktion nicht zukommen.(Nielsen, 2004, S. \mathrm{V}) \end{quote} \newpage \section{Betrachtung der Fakultätsfunktion} \subsection{Allgemeine Betrachtung} Betrachten wir zunächst die Fakultätsfunktion: $$n! = 1\cdot2\cdot3\cdot...\cdotn \hspace{10mm} n\in \mathbb{N}$$ Sie ist für alle positiven ganzen Zahlen sowie für 0 definiert. Die rekursive Definition\footnote{http://www.mathe-seiten.de/fakultaet.pdf S.5} ergibt sich aus der Überlegung: $$n! = n\cdot(n-1)!$$ und lautet: $$n! = \begin{cases} n\cdot(n-1)!, & \text{für } n>0\\ 1, & \text{für } n=0 \end{cases}$$ Der Graph der Fakultätsfunktion zeigt die schnell ansteigenden y-Werte bei ganzzahligen x-Werten sowie die Definitionslücken dazwischen: \includegraphics[resolution=120]{img/plot1.png} Diese Definitionslücken sollen nun geschlossen werden, es soll also eine Fakultätsfunktion für nicht ganzzahlige Werte definiert werden, wobei die Werte der vorhandenen Funktion beibehalten werden. Diese Funktion heißt Gammafunktion. Damit die Werte der Fakultätsfunktion erhalten bleiben, muss für die neue Funktion $\Gamma$ gelten: $$x \mapsto \Gamma(x)\text{, so dass } \Gamma(n) = (n-1)!$$ Aufgrund eines historischen Umstandes wird die Gammafunktion mit $(n-1)!$ und nicht mit $n!$ gleichgesetzt.\footnote{Königsberger, 2004, S. 351} Die Funktion erfüllt nun eine erste Bedingung an die Gammafunktion, indem sie für ganzzahlige Werte die selben Ergebnisse wie die Fakultätsfunktion liefert. Des weiteren soll sie die sogenannte Funktionalgleichung erfüllen, die sich aus der rekursiven Definition $n! = n\cdot(n-1)!$ ergibt und nach unserer Forderung $\Gamma(n+1) = n\cdot\Gamma(n)$ lautet: $$\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x) \hspace{10mm} \text{ für alle } x>0$$ \subsection{Betrachtung von $log (n!)$} Selbst dadurch ist die Gammafunktion aber noch nicht eindeutig festgelegt. Sehen wir uns nun einmal den Graphen der Funktion $n \mapsto log (n!)$ an: \includegraphics[resolution=120]{img/plot2.png} Die Werte von $n!$ gehen so schnell gegen unendlich, dass die Werte von $log (n!)$ auf einer nach oben gekrümmten Gerade liegen, also konvex sind. $n!$ heißt dadurch logarithmisch konvex. Diese Eigenschaft soll als dritte Forderung auch für die Gammafunktion gelten. Diese Eigenschaften legen die Gammafunktion eindeutig fest, wie die Mathematiker Bohr und Mollerup 1922 bewiesen haben. \subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup} Die dänischen Mathematiker Harald Bohr, Bruder des Nobelpreisträgers Niels Bohr, sowie Johannes Mollerup stellten 1922 in ihrem Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion fest, dass eine Funktion $G \mapsto G(x); x \in \mathbb{R}_0^+$ in diesem Bereich der Gammafunktion gleich ist, wenn gilt: \begin{enumerate} \item $G(1) = 1$ \item $G(x+1) = x\cdot G(x)$ \item $G$ ist logarithmisch konvex. \end{enumerate} Diese Funktion hat im Positiven den folgenden Graphen: \includegraphics[resolution=120]{img/plot3.png} \newpage \section{Darstellung der Gammafunktion} \subsection{Das Eulersche Integral} Die älteste Definition der Gammafunktion ist die bereits 1729\footnote{Königsberger, 2004, S. 221} von Leonhard Euler ($\ast$1707; $\dagger$ 1783) angegebene Integraldarstellung. Zunächst betrachten wir das aus der Integralrechnung bekannte Integral\footnote{Artin, 1931, S. 9}: $$\int_0^\infty e^{-t} t^n dt = n!$$ Nun kann man auf der linken Seite die Zahl $n$ durch eine beliebige reelle Zahl ersetzen und somit die Funktion $n!$ auf nicht ganzzahlige $n$ erweitern. Nachdem die Gammafunktion aber nicht $n!$, sondern $(n-1)!$ ergibt, lautet das Integral\footnote{Artin, 1931, S. 9}: $$\Gamma(x) = \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} dt = (x-1)!$$ Zunächst müssen wir untersuchen, für welche $x$ dieses Integral überhaupt existiert. Für positive Werte von $t$ ist der Integrand kleiner als $t^{x-1}$, daraus folgt, dass $$\int_{\varepsilon}^1 e^{-t} t^{x-1} dt < \int_{\varepsilon}^1 t^{x-1} dt$$ Weiter erhalten wir: $$\int_{\varepsilon}^1 t^{x-1} = \frac{1}{x} - \frac{\varepsilon^x}{x}$$ Daraus folgt $\frac{1}{x}$ als obere Schranke für das eulersche Integral. Da außerdem bei gleich bleibendem $x$ und abnehmendem $\varepsilon$ der Integralwert monoton wächst, existiert der Grenzwert $$\int_{\varepsilon}^1 e^{-t} t^{x-1} dt = \lim \limits_{\varepsilon = 0} e^{-t} t^{x-1} dt$$ Nachdem $e^t$ stets positiv ist, besteht für jede ganze Zahl $n$ die Ungleichung $$e^t > \frac{t^n}{n!}$$ Daraus folgt: $$e^{-t} < \frac{n!}{t^n}$$ und für den Integranden die Abschätzung: $$e^{-t} t^{x-1} < \frac{n!}{t^{n+1-x}}$$ Demnach ist $\frac{n!}{n-x}$ eine obere Schranke für $\int_1^u e^{-t} t^{x-1} dt$, wenn $n$ größer als $x+1$ gewählt wird. Wächst $u$, so wächst auch der Integralwert, deswegen existiert der Grenzwert $$\int_1^{\infty} e^{-t} t^{x-1} dt = \lim \limits_{u = + \infty} \int_1^u e^{-t} t^{x-1} dt$$ Aus diesen beiden Grenzwerten lässt sich folgern, dass das eulersche Integral für alle $x>0$ gilt.\footnote{Artin, 1931, S. 10} \subsection{Darstellung nach Gauß} Carl Friedrich Gauß ($\ast$1777; $\dagger$ 1855) erweiterte die Darstellung der Gammafunktion auf negative Zahlen. Zunächst wird $(s-1)!$ so definiert, dass $s$ keine natürliche Zahl sein muss:\footnote{Königsberger, 2004, S. 351} $$(s-1)! = \frac{(n+s)!}{s(s+1)\dots(s+n)}$$ Durch Umformung erhält man $$(s-1)! = \frac{n!n^s}{s(s+1)\dots(s+n)} \cdot (\frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+2}{n} \dots \frac{n+s}{n})$$ sowie durch Grenzübergang $n \to \infty$ $$(s-1)! = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n!n^s}{s(s+1)\dots(s+n)}$$ Gauß wies nun nach, dass dieser Grenzwert für alle komplexen Zahlen außer $-1, -2, -3, \dots$ existiert und die Funktionalgleichung $\Gamma(x) = (x-1)!$ erfüllt. \\Die Gauß'sche Definition der Gammafunktion lautet also: $$\Gamma(x) = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n!n^x}{x(x+1)\dots(x+n)} \hspace{10mm} \text{für } x \in \mathbb{R}\setminus\{0, -1, -2,\dots\}$$ Die Einschränkung der Definitionsmenge ergibt sich, da der Nenner des Bruchs bei negativen ganzzahligen x-Werten $0$ ergeben wrde. Die Gammafunktion hat an diesen Stellen also Polstellen. Der Graph der nun auch negative Werte einschließenden Gammafunktion sieht nun aus wie folgt: \includegraphics[resolution=120]{img/plot4.png} \subsection{Darstellung nach Weierstraß} Karl Weierstraß ($\ast$1815; $\dagger$ 1897) entwickelte aus der Gauß'schen Definition eine weitere Darstellung. Demnach ist die Gammafunktion die Lösung der Gleichung $$F(x+1) = x \cdot F(x)$$ die die Bedingung $$\lim \limits_{n = +\infty} \frac{F(x+n)}{(n-1)!n^x} = 1$$ erfüllt.\footnote{Nielsen, 1965, S. 3} \newpage Weierstraß verwendete außerdem die reziproke Gammafunktion $$ f(x) = \frac{1}{\Gamma(x)}$$ in seinem Produktsatz in der komplexen Analysis\footnote{Wikipedia: Reciprocal Gamma function, http://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal\_Gamma\_function\\ \hspace*{20mm}(aufgerufen am 29.01.09)}. Durch die Umkehrung verliert die Funktion ihre Polstellen: \includegraphics[resolution=120]{img/plot5.png} \subsection{Die unvollständige Gammafunktion} Die unvollständige Gammafunktion leitet sich aus dem Eulerschen Integral $$\Gamma(x) = \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} dt$$ ab. Dieses Integral wird in zwei weitere Integrale aufgeteilt: $$\Gamma(x) = \int_0^{\rho} e^{-t} t^{x-1} + \int_{\rho}^{\infty} e^{-t} t^{x-1}$$ Ausgehend von dieser Definition lässt sich die Funktion nun auf zwei Arten betrachten: als Funktion von $x$ bei festem $\rho$ sowie als Funktion von $\rho$ bei festem $x$.\footnote{Lösch, Schoblik, 1951, S. 101} \\ Während die vollständige Gammafunktion dort, wo sie angewandt wird, meist nur ein kleiner Teil der Lösung des spezifischen Problems ist, ist die unvollständige Gammafunktion oft der wesentliche Teil einer Lösungsfunktion.\footnote{Lösch, Schoblik, 1951, S. 152} \subsection{Die komplexe Gammafunktion} Die Gaußsche Definition der Gammafunktion erlaubt auch die Ausweitung des Definitionsbereichs auf die gesamte Menge der komplexen Zahlen. Da bei komplexen Funktionen $z$ anstelle von $x$ verwendet wird, lautet die Funktion also: $$\Gamma(z) = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n! \cdot n^z}{z \cdot (z+1) \cdots (z+n)} \hspace{10mm z \in \mathbb{C}}$$ Dadurch wird der Graph der Funktion dreidimensional. Die dritte Achse zeigt den Imaginärteil $\mathfrak{I}(z)$ im Gegensatz zum Realteil $\mathfrak{R}(z)$ an. \vspace{20mm} \includegraphics[resolution=160]{img/img1.png} \caption{\\Quelle: Wikipedia, http://de.wikipedia.de/wiki/Gammafunktion\\ \hspace*{10mm}(aufgerufen am 29.01.09)} \newpage \section{Berechnung von Funktionswerten} \subsection{Legendresche Verdoppelungsformel} Mit Hilfe der Legendreschen Verdoppelungsformel $$\Gamma(x)\Gamma(x+\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2x-1}} \Gamma(2x)$$ des französischen Mathematikers Andrien-Marie Legendre ($\ast$1752; $\dagger$ 1833) können wir den ersten Funktionswert von $\Gamma(x)$ berechnen, der über die von der Fakultätsfunktion übernommenen Werte hinausgeht.\\ \\Möchte man $\Gamma(\frac{1}{2})$ berechnen, so erhält man: $$\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(1) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^0} \Gamma(1)$$ Da wir wissen, dass $$\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1$$ erhalten wir: $$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$$ \subsection{Berechnung weiterer Funktionswerte} Aus der eben gewonnenen Erkenntnis, dass $$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$$ können wir nun schon einige Fakultäten berechnen, beispielsweise $2,5!$: \begin{eqnarray*} 2,5! & = & \Gamma(3,5)\\ & = & 2,5 \cdot \Gamma(1,5)\\ & = & 2,5 \cdot 1,5 \cdot \Gamma(0,5)\\ & = & 2,5 \cdot 1,5 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{\pi}\\ & \approx & 3.32335 \dots \end{eqnarray*} Auf diese Weise lassen sich für alle natürlichen Zahlen n die Funktionswerte $\Gamma(n+\frac{1}{2})$ berechnen. \subsection{Stirling-Formel zur Abschätzung großer x} Mit Hilfe der Formel zur Abschätzung großer Werte der Fakultätsfunktion von James Stirling lassen sich auch große Werte von $\Gamma(x)$ näherungsweise berechnen. Für die Gammafunktion lautet die Formel $$\Gamma(x) = \sqrt{2\pi} x^{x-\frac{1}{2}} e^{-x} e^{\mu(x)} \hspace{10mm} \text{ mit } x > 0$$ wobei $0 < \mu(x) < \frac{1}{12x}$. Zur Vereinfachung wird $\mu(x)$ gleich $0$ gesetzt: $$\Gamma(x) = \sqrt{2\pi} x^{x-\frac{1}{2}} e^{-x}$$ Diese Approximation ist zwar stets etwas zu klein, der relative Fehler fällt bei großen x-Werten jedoch kaum ins Gewicht und ist bei $x=9$ schon geringer als ein Prozent.\footnote{Königsberger, 2004, S. 359} \includegraphics[resolution=120]{img/plot100.png} \newpage \section{Anwendungen der Gammafunktion} \subsection{Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung} Die Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung $\gamma(\alpha,\beta)$ ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung\footnote{http://de.wikipedia.org/wiki/Gammaverteilung (aufgerufen am 10.12.08)} und wird verwendet \begin{itemize} \item zur Beschreibung von Bedien- und Reparaturzeiten in der Warteschlangentheorie \item zur Beschreibung kleiner und mittlerer Schäden in der Versicherungsmathematik.\footnote{http://wapedia.mobi/de/Gammaverteilung (aufgerufen am 10.12.08)} \end{itemize} Durch die weitgehend freie Wahl der beiden Parameter bietet die Gammaverteilung großen Spielraum bei der Beschreibung stochastischer Vorgänge.\footnote{http://www.via.rwth-aachen.de/Umdruck\_Updates\\ \hspace*{20mm}/mathematische\_Grundlagen/Update\_2005\_auf\_2006.pdf (aufgerufen am 10.12.08)} \\ Die Dichtefunktion der Gammaverteilung lautet\footnote{http://www.uni-magdeburg.de/bwl6/logedugate/pw\_stochastik/content/pw\_stochastik08.htm\\ \hspace*{20mm}(aufgerufen am 10.12.08)} $$f(x) = \begin{cases} \frac{\beta^{-\alpha} x^{\alpha-1} e^{\frac{-x}{\beta}}}{\Gamma(\alpha)}, & \text{für } x > 0\\ 0, & \text{für } x \leq 0. \end{cases}$$ Damit die Gammaverteilung normierbar ist, wird $\alpha,\frac{1}{\beta} > 0$ festgelegt. \\ Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist $\alpha\cdot\beta$, die Varianz $\alpha\cdot\beta^2$. Alternativ werden in der Literatur die beiden Parameter auch mit $p$ und $b$ angegeben, dabei gilt: $$p = \alpha, \hspace*{10mm} b = \frac{1}{\beta}$$ Durch die beiden Parameter gibt es eine Vielzahl von Graphen der Gammaverteilung: \includegraphics[resolution=120]{img/img2.png} \caption{\\Quelle: Wikipedia, http://de.wikipedia.de/wiki/Gammaverteilung\\ \hspace*{10mm}(aufgerufen am 29.01.09)} \subsection{Anwendungen der Funktion $\Psi(x)$} Die Funktion $\Psi(x)$ entsteht aus der Theorie der Gammafunktion und ist definiert als: $$\Psi(x) = D_x \cdot log \hspace{1mm} \Gamma(x)$$ Die Funktionalgleichung für $\Psi(x)$ lautet\footnote{Nielsen, 1965, S. 15}: $$ \Psi(x+1) = \frac{1}{x} + \Psi(x)$$ Aus der Integraldarstellung $$\Psi(x) = \int_0^{\infty} (\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-tx}}{1-e^{-t}})dt, \hspace{4cm} \mathfrak{R}(x)>0}$$ der Funktion ergibt sich für $x = 1$ ein Ausdruck für die Eulersche Konstante $C$, die in der Analysis hier und da auftritt\footnote{Nielsen, 1965, S. 183}: $$C = \int_0^{\infty} (\frac{1}{1-e^t} - \frac{1}{te^t})$$ Durch $\Psi(x)$ lassen sich einige unendliche Reihen summieren.\footnote{Nielsen, 1965, S. 59} So findet man beispielsweise den vom finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin gefundenen\footnote{Nielsen, 1965, S. 65} Zusammenhang: $$x \cdot \prod\limits_{s=0}^{s=\infty} (1+\frac{1}{x+s}) \cdot e^{-\frac{1}{x+s}} = e^{\Psi(x)$$ Auch in der mathematischen Physik wird $\Psi(x)$ angewandt.\footnote{Nielsen, 1965, S. 17} \subsection{Sitzreihenüberhöhung im Theater} Eine weitere Anwedung der Gammafunktion bzw. der Funktion $\Psi(x)$ ist die Berechnung der unterschiedlichen Höhen der Sitzreihen in einem Theater. Dabei muss jede Sitzreihe so viel über die vorherige erhöht sein, dass die Besucher eine ungehinderte Sicht auf die Bühne haben. Die Augen des Zuschauers in der n-ten Reihe stellen wir uns dabei als den Punkt $(x_\nu;y_\nu)$ in einem Koordinatensystem vor. Die benötigte Höhe $y_\nu$ ist dann für eine beliebige Sitzreihe $$y_\nu = y_1 + \frac{y_1+h}{x_1} \cdot (x_\nu - x_1) + \frac{h \cdot x_\nu}{d} [\Psi(\frac{x_\nu}{d})-\Psi(\frac{x_1}{d})]$$ wobei $h$ die Scheitelhöhe der Besucher und $d$ der Abstand zwischen den einzelnen Sitzreihen ist. Mit dieser Formel kann jedes $y_\nu$ für $\nu \in (1; 2; ... n)$ ohne Kenntnis der vorherigen $y$-Werte berechnet werden, lediglich $y_\nu$ wird vorausgesetzt\footnote{Lösch, Schoblik, 1951, S.153f}. \subsection{Fazit} Dies sind nur einige der vielfältigen Anwendungsgebiete der Gammafunktion, welche eine sehr vielseitige Funktion ist. Sie ist somit eine wichtige Funktion für die moderne Analysis. \newpage \section{Literaturverzeichnis} \begin{itemize} \item N. Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Bronx, NY, 1965 \item E. Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Leipzig u.a., 1931 \item K. Königsberger: Analysis 1, Berlin, 2004 \item F. Lösch, F. Schoblik, Die Fakultät und verwandte Funktionen, Leipzig, 1951 \item Wikipedia: Gammafunktion, http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion (aufgerufen am 04.07.08) \item Thomas Peters, Die Fakultät, http://www.mathe-seiten.de/fakultaet.pdf (aufgerufen am 04.07.08) \item Wikipedia: Gammaverteilung, http://de.wikipedia.org/wiki/Gammaverteilung (aufgerufen am 10.12.08) \item Wapedia: Gammaverteilung, http://wapedia.mobi/de/Gammaverteilung (aufgerufen am 10.12.08) \item http://www.via.rwth-aachen.de/Umdruck\_Updates/mathematische\_Grundlagen\\ /Update\_2005\_auf\_2006.pdf (aufgerufen am 10.12.08) \item http://www.uni-magdeburg.de/bwl6/logedugate/pw\_stochastik\\ /content/pw\_stochastik08.htm (aufgerufen am 10.12.08) \item Wikipedia: Reciprocal Gamma function, http://en.wikipedia.org/wiki\\ /Reciprocal\_Gamma\_function (aufgerufen am 29.01.09) \item TU Freiberg: Lebensdaten von Mathematikern, http://www.mathe.tu-freiberg.de\\ /$\sim$hebisch/cafe/lebensdaten.html (aufgerufen am 29.01.09) \end{itemize} \newpage \thispagestyle{empty} Ich erkläre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benützt habe. \vspace{2cm} Erlangen, den \today \end{document}